إدخال مسألة...
الجبر الخطي الأمثلة
[-2-1-1-2-3-2221]⎡⎢⎣−2−1−1−2−3−2221⎤⎥⎦
خطوة 1
خطوة 1.1
عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة p(λ)p(λ).
p(λ)=محدِّد(A-λI3)p(λ)=محدِّد(A−λI3)
خطوة 1.2
المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم 33 هي المصفوفة المربعة 3×33×3 التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.
[100010001]⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦
خطوة 1.3
عوّض بالقيم المعروفة في p(λ)=محدِّد(A-λI3)p(λ)=محدِّد(A−λI3).
خطوة 1.3.1
عوّض بقيمة AA التي تساوي [-2-1-1-2-3-2221]⎡⎢⎣−2−1−1−2−3−2221⎤⎥⎦.
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]-λI3)p(λ)=محدِّد⎛⎜⎝⎡⎢⎣−2−1−1−2−3−2221⎤⎥⎦−λI3⎞⎟⎠
خطوة 1.3.2
عوّض بقيمة I3I3 التي تساوي [100010001]⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦.
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]-λ[100010001])
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]-λ[100010001])
خطوة 1.4
بسّط.
خطوة 1.4.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.4.1.1
اضرب -λ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 1.4.1.2.1
اضرب -1 في 1.
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.2
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.2.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.2.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.3
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.3.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]+[-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.3.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.4
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.4.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]+[-λ000λ-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.4.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.5
اضرب -1 في 1.
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]+[-λ000-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.6
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.6.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]+[-λ000-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.6.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.7
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.7.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]+[-λ000-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.7.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.8
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.8.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]+[-λ000-λ000λ-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.8.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.9
اضرب -1 في 1.
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=محدِّد([-2-1-1-2-3-2221]+[-λ000-λ000-λ])
خطوة 1.4.2
اجمع العناصر المتناظرة.
p(λ)=محدِّد[-2-λ-1+0-1+0-2+0-3-λ-2+02+02+01-λ]
خطوة 1.4.3
Simplify each element.
خطوة 1.4.3.1
أضف -1 و0.
p(λ)=محدِّد[-2-λ-1-1+0-2+0-3-λ-2+02+02+01-λ]
خطوة 1.4.3.2
أضف -1 و0.
p(λ)=محدِّد[-2-λ-1-1-2+0-3-λ-2+02+02+01-λ]
خطوة 1.4.3.3
أضف -2 و0.
p(λ)=محدِّد[-2-λ-1-1-2-3-λ-2+02+02+01-λ]
خطوة 1.4.3.4
أضف -2 و0.
p(λ)=محدِّد[-2-λ-1-1-2-3-λ-22+02+01-λ]
خطوة 1.4.3.5
أضف 2 و0.
p(λ)=محدِّد[-2-λ-1-1-2-3-λ-222+01-λ]
خطوة 1.4.3.6
أضف 2 و0.
p(λ)=محدِّد[-2-λ-1-1-2-3-λ-2221-λ]
p(λ)=محدِّد[-2-λ-1-1-2-3-λ-2221-λ]
p(λ)=محدِّد[-2-λ-1-1-2-3-λ-2221-λ]
خطوة 1.5
Find the determinant.
خطوة 1.5.1
Choose the row or column with the most 0 elements. If there are no 0 elements choose any row or column. Multiply every element in row 1 by its cofactor and add.
خطوة 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
|+-+-+-+-+|
خطوة 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a - position on the sign chart.
خطوة 1.5.1.3
The minor for a11 is the determinant with row 1 and column 1 deleted.
|-3-λ-221-λ|
خطوة 1.5.1.4
Multiply element a11 by its cofactor.
(-2-λ)|-3-λ-221-λ|
خطوة 1.5.1.5
The minor for a12 is the determinant with row 1 and column 2 deleted.
|-2-221-λ|
خطوة 1.5.1.6
Multiply element a12 by its cofactor.
1|-2-221-λ|
خطوة 1.5.1.7
The minor for a13 is the determinant with row 1 and column 3 deleted.
|-2-3-λ22|
خطوة 1.5.1.8
Multiply element a13 by its cofactor.
-1|-2-3-λ22|
خطوة 1.5.1.9
Add the terms together.
p(λ)=(-2-λ)|-3-λ-221-λ|+1|-2-221-λ|-1|-2-3-λ22|
p(λ)=(-2-λ)|-3-λ-221-λ|+1|-2-221-λ|-1|-2-3-λ22|
خطوة 1.5.2
احسِب قيمة |-3-λ-221-λ|.
خطوة 1.5.2.1
يمكن إيجاد محدد المصفوفة 2×2 باستخدام القاعدة |abcd|=ad-cb.
p(λ)=(-2-λ)((-3-λ)(1-λ)-2⋅-2)+1|-2-221-λ|-1|-2-3-λ22|
خطوة 1.5.2.2
بسّط المحدد.
خطوة 1.5.2.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.2.2.1.1
وسّع (-3-λ)(1-λ) باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".
خطوة 1.5.2.2.1.1.1
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=(-2-λ)(-3(1-λ)-λ(1-λ)-2⋅-2)+1|-2-221-λ|-1|-2-3-λ22|
خطوة 1.5.2.2.1.1.2
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=(-2-λ)(-3⋅1-3(-λ)-λ(1-λ)-2⋅-2)+1|-2-221-λ|-1|-2-3-λ22|
خطوة 1.5.2.2.1.1.3
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=(-2-λ)(-3⋅1-3(-λ)-λ⋅1-λ(-λ)-2⋅-2)+1|-2-221-λ|-1|-2-3-λ22|
p(λ)=(-2-λ)(-3⋅1-3(-λ)-λ⋅1-λ(-λ)-2⋅-2)+1|-2-221-λ|-1|-2-3-λ22|
خطوة 1.5.2.2.1.2
بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.
خطوة 1.5.2.2.1.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.2.2.1.2.1.1
اضرب -3 في 1.
p(λ)=(-2-λ)(-3-3(-λ)-λ⋅1-λ(-λ)-2⋅-2)+1|-2-221-λ|-1|-2-3-λ22|
خطوة 1.5.2.2.1.2.1.2
اضرب -1 في -3.
p(λ)=(-2-λ)(-3+3λ-λ⋅1-λ(-λ)-2⋅-2)+1|-2-221-λ|-1|-2-3-λ22|
خطوة 1.5.2.2.1.2.1.3
اضرب -1 في 1.
p(λ)=(-2-λ)(-3+3λ-λ-λ(-λ)-2⋅-2)+1|-2-221-λ|-1|-2-3-λ22|
خطوة 1.5.2.2.1.2.1.4
أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.
p(λ)=(-2-λ)(-3+3λ-λ-1⋅-1λ⋅λ-2⋅-2)+1|-2-221-λ|-1|-2-3-λ22|
خطوة 1.5.2.2.1.2.1.5
اضرب λ في λ بجمع الأُسس.
خطوة 1.5.2.2.1.2.1.5.1
انقُل λ.
p(λ)=(-2-λ)(-3+3λ-λ-1⋅-1(λ⋅λ)-2⋅-2)+1|-2-221-λ|-1|-2-3-λ22|
خطوة 1.5.2.2.1.2.1.5.2
اضرب λ في λ.
p(λ)=(-2-λ)(-3+3λ-λ-1⋅-1λ2-2⋅-2)+1|-2-221-λ|-1|-2-3-λ22|
p(λ)=(-2-λ)(-3+3λ-λ-1⋅-1λ2-2⋅-2)+1|-2-221-λ|-1|-2-3-λ22|
خطوة 1.5.2.2.1.2.1.6
اضرب -1 في -1.
p(λ)=(-2-λ)(-3+3λ-λ+1λ2-2⋅-2)+1|-2-221-λ|-1|-2-3-λ22|
خطوة 1.5.2.2.1.2.1.7
اضرب λ2 في 1.
p(λ)=(-2-λ)(-3+3λ-λ+λ2-2⋅-2)+1|-2-221-λ|-1|-2-3-λ22|
p(λ)=(-2-λ)(-3+3λ-λ+λ2-2⋅-2)+1|-2-221-λ|-1|-2-3-λ22|
خطوة 1.5.2.2.1.2.2
اطرح λ من 3λ.
p(λ)=(-2-λ)(-3+2λ+λ2-2⋅-2)+1|-2-221-λ|-1|-2-3-λ22|
p(λ)=(-2-λ)(-3+2λ+λ2-2⋅-2)+1|-2-221-λ|-1|-2-3-λ22|
خطوة 1.5.2.2.1.3
اضرب -2 في -2.
p(λ)=(-2-λ)(-3+2λ+λ2+4)+1|-2-221-λ|-1|-2-3-λ22|
p(λ)=(-2-λ)(-3+2λ+λ2+4)+1|-2-221-λ|-1|-2-3-λ22|
خطوة 1.5.2.2.2
أضف -3 و4.
p(λ)=(-2-λ)(2λ+λ2+1)+1|-2-221-λ|-1|-2-3-λ22|
خطوة 1.5.2.2.3
أعِد ترتيب 2λ وλ2.
p(λ)=(-2-λ)(λ2+2λ+1)+1|-2-221-λ|-1|-2-3-λ22|
p(λ)=(-2-λ)(λ2+2λ+1)+1|-2-221-λ|-1|-2-3-λ22|
p(λ)=(-2-λ)(λ2+2λ+1)+1|-2-221-λ|-1|-2-3-λ22|
خطوة 1.5.3
احسِب قيمة |-2-221-λ|.
خطوة 1.5.3.1
يمكن إيجاد محدد المصفوفة 2×2 باستخدام القاعدة |abcd|=ad-cb.
p(λ)=(-2-λ)(λ2+2λ+1)+1(-2(1-λ)-2⋅-2)-1|-2-3-λ22|
خطوة 1.5.3.2
بسّط المحدد.
خطوة 1.5.3.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.3.2.1.1
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=(-2-λ)(λ2+2λ+1)+1(-2⋅1-2(-λ)-2⋅-2)-1|-2-3-λ22|
خطوة 1.5.3.2.1.2
اضرب -2 في 1.
p(λ)=(-2-λ)(λ2+2λ+1)+1(-2-2(-λ)-2⋅-2)-1|-2-3-λ22|
خطوة 1.5.3.2.1.3
اضرب -1 في -2.
p(λ)=(-2-λ)(λ2+2λ+1)+1(-2+2λ-2⋅-2)-1|-2-3-λ22|
خطوة 1.5.3.2.1.4
اضرب -2 في -2.
p(λ)=(-2-λ)(λ2+2λ+1)+1(-2+2λ+4)-1|-2-3-λ22|
p(λ)=(-2-λ)(λ2+2λ+1)+1(-2+2λ+4)-1|-2-3-λ22|
خطوة 1.5.3.2.2
أضف -2 و4.
p(λ)=(-2-λ)(λ2+2λ+1)+1(2λ+2)-1|-2-3-λ22|
p(λ)=(-2-λ)(λ2+2λ+1)+1(2λ+2)-1|-2-3-λ22|
p(λ)=(-2-λ)(λ2+2λ+1)+1(2λ+2)-1|-2-3-λ22|
خطوة 1.5.4
احسِب قيمة |-2-3-λ22|.
خطوة 1.5.4.1
يمكن إيجاد محدد المصفوفة 2×2 باستخدام القاعدة |abcd|=ad-cb.
p(λ)=(-2-λ)(λ2+2λ+1)+1(2λ+2)-1(-2⋅2-2(-3-λ))
خطوة 1.5.4.2
بسّط المحدد.
خطوة 1.5.4.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.4.2.1.1
اضرب -2 في 2.
p(λ)=(-2-λ)(λ2+2λ+1)+1(2λ+2)-1(-4-2(-3-λ))
خطوة 1.5.4.2.1.2
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=(-2-λ)(λ2+2λ+1)+1(2λ+2)-1(-4-2⋅-3-2(-λ))
خطوة 1.5.4.2.1.3
اضرب -2 في -3.
p(λ)=(-2-λ)(λ2+2λ+1)+1(2λ+2)-1(-4+6-2(-λ))
خطوة 1.5.4.2.1.4
اضرب -1 في -2.
p(λ)=(-2-λ)(λ2+2λ+1)+1(2λ+2)-1(-4+6+2λ)
p(λ)=(-2-λ)(λ2+2λ+1)+1(2λ+2)-1(-4+6+2λ)
خطوة 1.5.4.2.2
أضف -4 و6.
p(λ)=(-2-λ)(λ2+2λ+1)+1(2λ+2)-1(2+2λ)
خطوة 1.5.4.2.3
أعِد ترتيب 2 و2λ.
p(λ)=(-2-λ)(λ2+2λ+1)+1(2λ+2)-1(2λ+2)
p(λ)=(-2-λ)(λ2+2λ+1)+1(2λ+2)-1(2λ+2)
p(λ)=(-2-λ)(λ2+2λ+1)+1(2λ+2)-1(2λ+2)
خطوة 1.5.5
بسّط المحدد.
خطوة 1.5.5.1
جمّع الحدود المتعاكسة في (-2-λ)(λ2+2λ+1)+1(2λ+2)-1(2λ+2).
خطوة 1.5.5.1.1
اطرح 1(2λ+2) من 1(2λ+2).
p(λ)=(-2-λ)(λ2+2λ+1)+0
خطوة 1.5.5.1.2
أضف (-2-λ)(λ2+2λ+1) و0.
p(λ)=(-2-λ)(λ2+2λ+1)
p(λ)=(-2-λ)(λ2+2λ+1)
خطوة 1.5.5.2
وسّع (-2-λ)(λ2+2λ+1) بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.
p(λ)=-2λ2-2(2λ)-2⋅1-λ⋅λ2-λ(2λ)-λ⋅1
خطوة 1.5.5.3
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.5.3.1
اضرب 2 في -2.
p(λ)=-2λ2-4λ-2⋅1-λ⋅λ2-λ(2λ)-λ⋅1
خطوة 1.5.5.3.2
اضرب -2 في 1.
p(λ)=-2λ2-4λ-2-λ⋅λ2-λ(2λ)-λ⋅1
خطوة 1.5.5.3.3
اضرب λ في λ2 بجمع الأُسس.
خطوة 1.5.5.3.3.1
انقُل λ2.
p(λ)=-2λ2-4λ-2-(λ2λ)-λ(2λ)-λ⋅1
خطوة 1.5.5.3.3.2
اضرب λ2 في λ.
خطوة 1.5.5.3.3.2.1
ارفع λ إلى القوة 1.
p(λ)=-2λ2-4λ-2-(λ2λ1)-λ(2λ)-λ⋅1
خطوة 1.5.5.3.3.2.2
استخدِم قاعدة القوة aman=am+n لتجميع الأُسس.
p(λ)=-2λ2-4λ-2-λ2+1-λ(2λ)-λ⋅1
p(λ)=-2λ2-4λ-2-λ2+1-λ(2λ)-λ⋅1
خطوة 1.5.5.3.3.3
أضف 2 و1.
p(λ)=-2λ2-4λ-2-λ3-λ(2λ)-λ⋅1
p(λ)=-2λ2-4λ-2-λ3-λ(2λ)-λ⋅1
خطوة 1.5.5.3.4
أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.
p(λ)=-2λ2-4λ-2-λ3-1⋅2λ⋅λ-λ⋅1
خطوة 1.5.5.3.5
اضرب λ في λ بجمع الأُسس.
خطوة 1.5.5.3.5.1
انقُل λ.
p(λ)=-2λ2-4λ-2-λ3-1⋅2(λ⋅λ)-λ⋅1
خطوة 1.5.5.3.5.2
اضرب λ في λ.
p(λ)=-2λ2-4λ-2-λ3-1⋅2λ2-λ⋅1
p(λ)=-2λ2-4λ-2-λ3-1⋅2λ2-λ⋅1
خطوة 1.5.5.3.6
اضرب -1 في 2.
p(λ)=-2λ2-4λ-2-λ3-2λ2-λ⋅1
خطوة 1.5.5.3.7
اضرب -1 في 1.
p(λ)=-2λ2-4λ-2-λ3-2λ2-λ
p(λ)=-2λ2-4λ-2-λ3-2λ2-λ
خطوة 1.5.5.4
اطرح 2λ2 من -2λ2.
p(λ)=-4λ2-4λ-2-λ3-λ
خطوة 1.5.5.5
اطرح λ من -4λ.
p(λ)=-4λ2-5λ-2-λ3
خطوة 1.5.5.6
انقُل -2.
p(λ)=-4λ2-5λ-λ3-2
خطوة 1.5.5.7
انقُل -5λ.
p(λ)=-4λ2-λ3-5λ-2
خطوة 1.5.5.8
أعِد ترتيب -4λ2 و-λ3.
p(λ)=-λ3-4λ2-5λ-2
p(λ)=-λ3-4λ2-5λ-2
p(λ)=-λ3-4λ2-5λ-2
خطوة 1.6
عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ 0 لإيجاد القيم الذاتية λ.
-λ3-4λ2-5λ-2=0
خطوة 1.7
أوجِد قيمة λ.
خطوة 1.7.1
حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.
خطوة 1.7.1.1
أخرِج العامل -1 من -λ3-4λ2-5λ-2.
خطوة 1.7.1.1.1
أخرِج العامل -1 من -λ3.
-(λ3)-4λ2-5λ-2=0
خطوة 1.7.1.1.2
أخرِج العامل -1 من -4λ2.
-(λ3)-(4λ2)-5λ-2=0
خطوة 1.7.1.1.3
أخرِج العامل -1 من -5λ.
-(λ3)-(4λ2)-(5λ)-2=0
خطوة 1.7.1.1.4
أعِد كتابة -2 بالصيغة -1(2).
-(λ3)-(4λ2)-(5λ)-1⋅2=0
خطوة 1.7.1.1.5
أخرِج العامل -1 من -(λ3)-(4λ2).
-(λ3+4λ2)-(5λ)-1⋅2=0
خطوة 1.7.1.1.6
أخرِج العامل -1 من -(λ3+4λ2)-(5λ).
-(λ3+4λ2+5λ)-1⋅2=0
خطوة 1.7.1.1.7
أخرِج العامل -1 من -(λ3+4λ2+5λ)-1(2).
-(λ3+4λ2+5λ+2)=0
-(λ3+4λ2+5λ+2)=0
خطوة 1.7.1.2
حلّل λ3+4λ2+5λ+2 إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.
خطوة 1.7.1.2.1
إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة pq والتي تكون فيها p هي عامل الثابت وq هي عامل المعامل الرئيسي.
p=±1,±2
q=±1
خطوة 1.7.1.2.2
أوجِد كل تركيبة من تركيبات ±pq. هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.
±1,±2
خطوة 1.7.1.2.3
عوّض بـ -1 وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي 0، إذن -1 هو جذر متعدد الحدود.
خطوة 1.7.1.2.3.1
عوّض بـ -1 في متعدد الحدود.
(-1)3+4(-1)2+5⋅-1+2
خطوة 1.7.1.2.3.2
ارفع -1 إلى القوة 3.
-1+4(-1)2+5⋅-1+2
خطوة 1.7.1.2.3.3
ارفع -1 إلى القوة 2.
-1+4⋅1+5⋅-1+2
خطوة 1.7.1.2.3.4
اضرب 4 في 1.
-1+4+5⋅-1+2
خطوة 1.7.1.2.3.5
أضف -1 و4.
3+5⋅-1+2
خطوة 1.7.1.2.3.6
اضرب 5 في -1.
3-5+2
خطوة 1.7.1.2.3.7
اطرح 5 من 3.
-2+2
خطوة 1.7.1.2.3.8
أضف -2 و2.
0
0
خطوة 1.7.1.2.4
بما أن -1 جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على λ+1 لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.
λ3+4λ2+5λ+2λ+1
خطوة 1.7.1.2.5
اقسِم λ3+4λ2+5λ+2 على λ+1.
خطوة 1.7.1.2.5.1
عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة 0.
λ | + | 1 | λ3 | + | 4λ2 | + | 5λ | + | 2 |
خطوة 1.7.1.2.5.2
اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم λ3 على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه λ.
λ2 | |||||||||||
λ | + | 1 | λ3 | + | 4λ2 | + | 5λ | + | 2 |
خطوة 1.7.1.2.5.3
اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.
λ2 | |||||||||||
λ | + | 1 | λ3 | + | 4λ2 | + | 5λ | + | 2 | ||
+ | λ3 | + | λ2 |
خطوة 1.7.1.2.5.4
يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في λ3+λ2
λ2 | |||||||||||
λ | + | 1 | λ3 | + | 4λ2 | + | 5λ | + | 2 | ||
- | λ3 | - | λ2 |
خطوة 1.7.1.2.5.5
بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.
λ2 | |||||||||||
λ | + | 1 | λ3 | + | 4λ2 | + | 5λ | + | 2 | ||
- | λ3 | - | λ2 | ||||||||
+ | 3λ2 |
خطوة 1.7.1.2.5.6
أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.
λ2 | |||||||||||
λ | + | 1 | λ3 | + | 4λ2 | + | 5λ | + | 2 | ||
- | λ3 | - | λ2 | ||||||||
+ | 3λ2 | + | 5λ |
خطوة 1.7.1.2.5.7
اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم 3λ2 على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه λ.
λ2 | + | 3λ | |||||||||
λ | + | 1 | λ3 | + | 4λ2 | + | 5λ | + | 2 | ||
- | λ3 | - | λ2 | ||||||||
+ | 3λ2 | + | 5λ |
خطوة 1.7.1.2.5.8
اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.
λ2 | + | 3λ | |||||||||
λ | + | 1 | λ3 | + | 4λ2 | + | 5λ | + | 2 | ||
- | λ3 | - | λ2 | ||||||||
+ | 3λ2 | + | 5λ | ||||||||
+ | 3λ2 | + | 3λ |
خطوة 1.7.1.2.5.9
يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في 3λ2+3λ
λ2 | + | 3λ | |||||||||
λ | + | 1 | λ3 | + | 4λ2 | + | 5λ | + | 2 | ||
- | λ3 | - | λ2 | ||||||||
+ | 3λ2 | + | 5λ | ||||||||
- | 3λ2 | - | 3λ |
خطوة 1.7.1.2.5.10
بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.
λ2 | + | 3λ | |||||||||
λ | + | 1 | λ3 | + | 4λ2 | + | 5λ | + | 2 | ||
- | λ3 | - | λ2 | ||||||||
+ | 3λ2 | + | 5λ | ||||||||
- | 3λ2 | - | 3λ | ||||||||
+ | 2λ |
خطوة 1.7.1.2.5.11
أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.
λ2 | + | 3λ | |||||||||
λ | + | 1 | λ3 | + | 4λ2 | + | 5λ | + | 2 | ||
- | λ3 | - | λ2 | ||||||||
+ | 3λ2 | + | 5λ | ||||||||
- | 3λ2 | - | 3λ | ||||||||
+ | 2λ | + | 2 |
خطوة 1.7.1.2.5.12
اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم 2λ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه λ.
λ2 | + | 3λ | + | 2 | |||||||
λ | + | 1 | λ3 | + | 4λ2 | + | 5λ | + | 2 | ||
- | λ3 | - | λ2 | ||||||||
+ | 3λ2 | + | 5λ | ||||||||
- | 3λ2 | - | 3λ | ||||||||
+ | 2λ | + | 2 |
خطوة 1.7.1.2.5.13
اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.
λ2 | + | 3λ | + | 2 | |||||||
λ | + | 1 | λ3 | + | 4λ2 | + | 5λ | + | 2 | ||
- | λ3 | - | λ2 | ||||||||
+ | 3λ2 | + | 5λ | ||||||||
- | 3λ2 | - | 3λ | ||||||||
+ | 2λ | + | 2 | ||||||||
+ | 2λ | + | 2 |
خطوة 1.7.1.2.5.14
يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في 2λ+2
λ2 | + | 3λ | + | 2 | |||||||
λ | + | 1 | λ3 | + | 4λ2 | + | 5λ | + | 2 | ||
- | λ3 | - | λ2 | ||||||||
+ | 3λ2 | + | 5λ | ||||||||
- | 3λ2 | - | 3λ | ||||||||
+ | 2λ | + | 2 | ||||||||
- | 2λ | - | 2 |
خطوة 1.7.1.2.5.15
بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.
λ2 | + | 3λ | + | 2 | |||||||
λ | + | 1 | λ3 | + | 4λ2 | + | 5λ | + | 2 | ||
- | λ3 | - | λ2 | ||||||||
+ | 3λ2 | + | 5λ | ||||||||
- | 3λ2 | - | 3λ | ||||||||
+ | 2λ | + | 2 | ||||||||
- | 2λ | - | 2 | ||||||||
0 |
خطوة 1.7.1.2.5.16
بما أن الباقي يساوي 0، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.
λ2+3λ+2
λ2+3λ+2
خطوة 1.7.1.2.6
اكتب λ3+4λ2+5λ+2 في صورة مجموعة من العوامل.
-((λ+1)(λ2+3λ+2))=0
-((λ+1)(λ2+3λ+2))=0
خطوة 1.7.1.3
حلّل λ2+3λ+2 إلى عوامل باستخدام طريقة AC.
خطوة 1.7.1.3.1
حلّل λ2+3λ+2 إلى عوامل باستخدام طريقة AC.
خطوة 1.7.1.3.1.1
ضع في اعتبارك الصيغة x2+bx+c. ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما c ومجموعهما b. في هذه الحالة، حاصل ضربهما 2 ومجموعهما 3.
1,2
خطوة 1.7.1.3.1.2
اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.
-((λ+1)((λ+1)(λ+2)))=0
-((λ+1)((λ+1)(λ+2)))=0
خطوة 1.7.1.3.2
احذِف الأقواس غير الضرورية.
-((λ+1)(λ+1)(λ+2))=0
-((λ+1)(λ+1)(λ+2))=0
خطوة 1.7.1.4
حلّل إلى عوامل.
خطوة 1.7.1.4.1
جمّع العوامل المتشابهة.
خطوة 1.7.1.4.1.1
ارفع λ+1 إلى القوة 1.
-((λ+1)(λ+1)(λ+2))=0
خطوة 1.7.1.4.1.2
ارفع λ+1 إلى القوة 1.
-((λ+1)(λ+1)(λ+2))=0
خطوة 1.7.1.4.1.3
استخدِم قاعدة القوة aman=am+n لتجميع الأُسس.
-((λ+1)1+1(λ+2))=0
خطوة 1.7.1.4.1.4
أضف 1 و1.
-((λ+1)2(λ+2))=0
-((λ+1)2(λ+2))=0
خطوة 1.7.1.4.2
احذِف الأقواس غير الضرورية.
-(λ+1)2(λ+2)=0
-(λ+1)2(λ+2)=0
-(λ+1)2(λ+2)=0
خطوة 1.7.2
إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي 0، فالعبارة بأكملها تساوي 0.
(λ+1)2=0
λ+2=0
خطوة 1.7.3
عيّن قيمة العبارة (λ+1)2 بحيث تصبح مساوية لـ 0 وأوجِد قيمة λ.
خطوة 1.7.3.1
عيّن قيمة (λ+1)2 بحيث تصبح مساوية لـ 0.
(λ+1)2=0
خطوة 1.7.3.2
أوجِد قيمة λ في (λ+1)2=0.
خطوة 1.7.3.2.1
عيّن قيمة λ+1 بحيث تصبح مساوية لـ 0.
λ+1=0
خطوة 1.7.3.2.2
اطرح 1 من كلا المتعادلين.
λ=-1
λ=-1
λ=-1
خطوة 1.7.4
عيّن قيمة العبارة λ+2 بحيث تصبح مساوية لـ 0 وأوجِد قيمة λ.
خطوة 1.7.4.1
عيّن قيمة λ+2 بحيث تصبح مساوية لـ 0.
λ+2=0
خطوة 1.7.4.2
اطرح 2 من كلا المتعادلين.
λ=-2
λ=-2
خطوة 1.7.5
الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة -(λ+1)2(λ+2)=0 صحيحة.
λ=-1,-2
λ=-1,-2
λ=-1,-2
خطوة 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where N is the null space and I is the identity matrix.
εA=N(A-λI3)
خطوة 3
خطوة 3.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([-2-1-1-2-3-2221]+[100010001])
خطوة 3.2
بسّط.
خطوة 3.2.1
اجمع العناصر المتناظرة.
[-2+1-1+0-1+0-2+0-3+1-2+02+02+01+1]
خطوة 3.2.2
Simplify each element.
خطوة 3.2.2.1
أضف -2 و1.
[-1-1+0-1+0-2+0-3+1-2+02+02+01+1]
خطوة 3.2.2.2
أضف -1 و0.
[-1-1-1+0-2+0-3+1-2+02+02+01+1]
خطوة 3.2.2.3
أضف -1 و0.
[-1-1-1-2+0-3+1-2+02+02+01+1]
خطوة 3.2.2.4
أضف -2 و0.
[-1-1-1-2-3+1-2+02+02+01+1]
خطوة 3.2.2.5
أضف -3 و1.
[-1-1-1-2-2-2+02+02+01+1]
خطوة 3.2.2.6
أضف -2 و0.
[-1-1-1-2-2-22+02+01+1]
خطوة 3.2.2.7
أضف 2 و0.
[-1-1-1-2-2-222+01+1]
خطوة 3.2.2.8
أضف 2 و0.
[-1-1-1-2-2-2221+1]
خطوة 3.2.2.9
أضف 1 و1.
[-1-1-1-2-2-2222]
[-1-1-1-2-2-2222]
[-1-1-1-2-2-2222]
خطوة 3.3
Find the null space when λ=-1.
خطوة 3.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[-1-1-10-2-2-202220]
خطوة 3.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
خطوة 3.3.2.1
Multiply each element of R1 by -1 to make the entry at 1,1 a 1.
خطوة 3.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by -1 to make the entry at 1,1 a 1.
[--1--1--1-0-2-2-202220]
خطوة 3.3.2.1.2
بسّط R1.
[1110-2-2-202220]
[1110-2-2-202220]
خطوة 3.3.2.2
Perform the row operation R2=R2+2R1 to make the entry at 2,1 a 0.
خطوة 3.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2+2R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1110-2+2⋅1-2+2⋅1-2+2⋅10+2⋅02220]
خطوة 3.3.2.2.2
بسّط R2.
[111000002220]
[111000002220]
خطوة 3.3.2.3
Perform the row operation R3=R3-2R1 to make the entry at 3,1 a 0.
خطوة 3.3.2.3.1
Perform the row operation R3=R3-2R1 to make the entry at 3,1 a 0.
[111000002-2⋅12-2⋅12-2⋅10-2⋅0]
خطوة 3.3.2.3.2
بسّط R3.
[111000000000]
[111000000000]
[111000000000]
خطوة 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x+y+z=0
0=0
0=0
خطوة 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xyz]=[-y-zyz]
خطوة 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xyz]=y[-110]+z[-101]
خطوة 3.3.6
Write as a solution set.
{y[-110]+z[-101]|y,z∈R}
خطوة 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[-110],[-101]}
{[-110],[-101]}
{[-110],[-101]}
خطوة 4
خطوة 4.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([-2-1-1-2-3-2221]+2[100010001])
خطوة 4.2
بسّط.
خطوة 4.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 4.2.1.1
اضرب 2 في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
[-2-1-1-2-3-2221]+[2⋅12⋅02⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
خطوة 4.2.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 4.2.1.2.1
اضرب 2 في 1.
[-2-1-1-2-3-2221]+[22⋅02⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
خطوة 4.2.1.2.2
اضرب 2 في 0.
[-2-1-1-2-3-2221]+[202⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
خطوة 4.2.1.2.3
اضرب 2 في 0.
[-2-1-1-2-3-2221]+[2002⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
خطوة 4.2.1.2.4
اضرب 2 في 0.
[-2-1-1-2-3-2221]+[20002⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
خطوة 4.2.1.2.5
اضرب 2 في 1.
[-2-1-1-2-3-2221]+[200022⋅02⋅02⋅02⋅1]
خطوة 4.2.1.2.6
اضرب 2 في 0.
[-2-1-1-2-3-2221]+[2000202⋅02⋅02⋅1]
خطوة 4.2.1.2.7
اضرب 2 في 0.
[-2-1-1-2-3-2221]+[20002002⋅02⋅1]
خطوة 4.2.1.2.8
اضرب 2 في 0.
[-2-1-1-2-3-2221]+[200020002⋅1]
خطوة 4.2.1.2.9
اضرب 2 في 1.
[-2-1-1-2-3-2221]+[200020002]
[-2-1-1-2-3-2221]+[200020002]
[-2-1-1-2-3-2221]+[200020002]
خطوة 4.2.2
اجمع العناصر المتناظرة.
[-2+2-1+0-1+0-2+0-3+2-2+02+02+01+2]
خطوة 4.2.3
Simplify each element.
خطوة 4.2.3.1
أضف -2 و2.
[0-1+0-1+0-2+0-3+2-2+02+02+01+2]
خطوة 4.2.3.2
أضف -1 و0.
[0-1-1+0-2+0-3+2-2+02+02+01+2]
خطوة 4.2.3.3
أضف -1 و0.
[0-1-1-2+0-3+2-2+02+02+01+2]
خطوة 4.2.3.4
أضف -2 و0.
[0-1-1-2-3+2-2+02+02+01+2]
خطوة 4.2.3.5
أضف -3 و2.
[0-1-1-2-1-2+02+02+01+2]
خطوة 4.2.3.6
أضف -2 و0.
[0-1-1-2-1-22+02+01+2]
خطوة 4.2.3.7
أضف 2 و0.
[0-1-1-2-1-222+01+2]
خطوة 4.2.3.8
أضف 2 و0.
[0-1-1-2-1-2221+2]
خطوة 4.2.3.9
أضف 1 و2.
[0-1-1-2-1-2223]
[0-1-1-2-1-2223]
[0-1-1-2-1-2223]
خطوة 4.3
Find the null space when λ=-2.
خطوة 4.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[0-1-10-2-1-202230]
خطوة 4.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
خطوة 4.3.2.1
Swap R2 with R1 to put a nonzero entry at 1,1.
[-2-1-200-1-102230]
خطوة 4.3.2.2
Multiply each element of R1 by -12 to make the entry at 1,1 a 1.
خطوة 4.3.2.2.1
Multiply each element of R1 by -12 to make the entry at 1,1 a 1.
[-12⋅-2-12⋅-1-12⋅-2-12⋅00-1-102230]
خطوة 4.3.2.2.2
بسّط R1.
[112100-1-102230]
[112100-1-102230]
خطوة 4.3.2.3
Perform the row operation R3=R3-2R1 to make the entry at 3,1 a 0.
خطوة 4.3.2.3.1
Perform the row operation R3=R3-2R1 to make the entry at 3,1 a 0.
[112100-1-102-2⋅12-2(12)3-2⋅10-2⋅0]
خطوة 4.3.2.3.2
بسّط R3.
[112100-1-100110]
[112100-1-100110]
خطوة 4.3.2.4
Multiply each element of R2 by -1 to make the entry at 2,2 a 1.
خطوة 4.3.2.4.1
Multiply each element of R2 by -1 to make the entry at 2,2 a 1.
[11210-0--1--1-00110]
خطوة 4.3.2.4.2
بسّط R2.
[1121001100110]
[1121001100110]
خطوة 4.3.2.5
Perform the row operation R3=R3-R2 to make the entry at 3,2 a 0.
خطوة 4.3.2.5.1
Perform the row operation R3=R3-R2 to make the entry at 3,2 a 0.
[1121001100-01-11-10-0]
خطوة 4.3.2.5.2
بسّط R3.
[1121001100000]
[1121001100000]
خطوة 4.3.2.6
Perform the row operation R1=R1-12R2 to make the entry at 1,2 a 0.
خطوة 4.3.2.6.1
Perform the row operation R1=R1-12R2 to make the entry at 1,2 a 0.
[1-12⋅012-12⋅11-12⋅10-12⋅001100000]
خطوة 4.3.2.6.2
بسّط R1.
[1012001100000]
[1012001100000]
[1012001100000]
خطوة 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x+12z=0
y+z=0
0=0
خطوة 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xyz]=[-z2-zz]
خطوة 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xyz]=z[-12-11]
خطوة 4.3.6
Write as a solution set.
{z[-12-11]|z∈R}
خطوة 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[-12-11]}
{[-12-11]}
{[-12-11]}
خطوة 5
The eigenspace of A is the list of the vector space for each eigenvalue.
{[-110],[-101],[-12-11]}