الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}]$

خطوة 1

أوجِد القيم الذاتية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$

خطوة 1.2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $3$ هي المصفوفة المربعة $3 \times 3$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 1.3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] - λ I_{3})$

خطوة 1.3.2

عوّض بقيمة $I_{3}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.6

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.6.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.6.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.7.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.8.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 1.4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 1 + 0 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 - λ & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أضف $- 1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 1 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 - λ & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2

أضف $- 1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 1 & - 1 \\ - 2 + 0 & - 3 - λ & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.3

أضف $- 2$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 - λ & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.4

أضف $- 2$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 - λ & - 2 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.5

أضف $2$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 - λ & - 2 \\ 2 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.6

أضف $2$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 - λ & - 2 \\ 2 & 2 & 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 - λ & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 2 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 2 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} - 3 - λ & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((- 3 - λ) (1 - λ) - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1.1

وسّع $(- 3 - λ) (1 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 \cdot 1 - 3 (- λ) - λ (1 - λ) - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 \cdot 1 - 3 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1.2.1.1

اضرب $- 3$ في $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 - 3 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 3 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.1.2.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 3 λ - λ - λ (- λ) - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 3 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 3 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 3 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 3 λ - λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 3 λ - λ + λ^{2} - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.1.2.2

اطرح $λ$ من $3 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 2 λ + λ^{2} - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.1.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 2 λ + λ^{2} + 4) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.2

أضف $- 3$ و $4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (2 λ + λ^{2} + 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.3

أعِد ترتيب $2 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.3

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (- 2 (1 - λ) - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (- 2 \cdot 1 - 2 (- λ) - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2.1.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (- 2 - 2 (- λ) - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2.1.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (- 2 + 2 λ - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2.1.4

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (- 2 + 2 λ + 4) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2.2

أضف $- 2$ و $4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 (- 2 \cdot 2 - 2 (- 3 - λ))$

خطوة 1.5.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 (- 4 - 2 (- 3 - λ))$

خطوة 1.5.4.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 (- 4 - 2 \cdot - 3 - 2 (- λ))$

خطوة 1.5.4.2.1.3

اضرب $- 2$ في $- 3$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 (- 4 + 6 - 2 (- λ))$

خطوة 1.5.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 (- 4 + 6 + 2 λ)$

خطوة 1.5.4.2.2

أضف $- 4$ و $6$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 (2 + 2 λ)$

خطوة 1.5.4.2.3

أعِد ترتيب $2$ و $2 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 (2 λ + 2)$

خطوة 1.5.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $(- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 (2 λ + 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1.1

اطرح $1 (2 λ + 2)$ من $1 (2 λ + 2)$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 0$

خطوة 1.5.5.1.2

أضف $(- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1)$ و $0$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1)$

خطوة 1.5.5.2

وسّع $(- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 2 (2 λ) - 2 \cdot 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 1$

خطوة 1.5.5.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.3.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 \cdot 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 1$

خطوة 1.5.5.3.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 1$

خطوة 1.5.5.3.3

اضرب $λ$ في $λ^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.3.3.1

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - (λ^{2} λ) - λ (2 λ) - λ \cdot 1$

خطوة 1.5.5.3.3.2

اضرب $λ^{2}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.3.3.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (2 λ) - λ \cdot 1$

خطوة 1.5.5.3.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ^{2 + 1} - λ (2 λ) - λ \cdot 1$

خطوة 1.5.5.3.3.3

أضف $2$ و $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ^{3} - λ (2 λ) - λ \cdot 1$

خطوة 1.5.5.3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ \cdot λ - λ \cdot 1$

خطوة 1.5.5.3.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.3.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ^{3} - 1 \cdot 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot 1$

خطوة 1.5.5.3.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ^{2} - λ \cdot 1$

خطوة 1.5.5.3.6

اضرب $- 1$ في $2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ^{3} - 2 λ^{2} - λ \cdot 1$

خطوة 1.5.5.3.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ^{3} - 2 λ^{2} - λ$

خطوة 1.5.5.4

اطرح $2 λ^{2}$ من $- 2 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ^{3} - λ$

خطوة 1.5.5.5

اطرح $λ$ من $- 4 λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 5 λ - 2 - λ^{3}$

خطوة 1.5.5.6

انقُل $- 2$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 5 λ - λ^{3} - 2$

خطوة 1.5.5.7

انقُل $- 5 λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - λ^{3} - 5 λ - 2$

خطوة 1.5.5.8

أعِد ترتيب $- 4 λ^{2}$ و $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 4 λ^{2} - 5 λ - 2$

خطوة 1.6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$- λ^{3} - 4 λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

خطوة 1.7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- λ^{3} - 4 λ^{2} - 5 λ - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- λ^{3}$ .

$- (λ^{3}) - 4 λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

خطوة 1.7.1.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 λ^{2}$ .

$- (λ^{3}) - (4 λ^{2}) - 5 λ - 2 = 0$

خطوة 1.7.1.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 5 λ$ .

$- (λ^{3}) - (4 λ^{2}) - (5 λ) - 2 = 0$

خطوة 1.7.1.1.4

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة $- 1 (2)$ .

$- (λ^{3}) - (4 λ^{2}) - (5 λ) - 1 \cdot 2 = 0$

خطوة 1.7.1.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (λ^{3}) - (4 λ^{2})$ .

$- (λ^{3} + 4 λ^{2}) - (5 λ) - 1 \cdot 2 = 0$

خطوة 1.7.1.1.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (λ^{3} + 4 λ^{2}) - (5 λ)$ .

$- (λ^{3} + 4 λ^{2} + 5 λ) - 1 \cdot 2 = 0$

خطوة 1.7.1.1.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (λ^{3} + 4 λ^{2} + 5 λ) - 1 (2)$ .

$- (λ^{3} + 4 λ^{2} + 5 λ + 2) = 0$

خطوة 1.7.1.2

حلّل $λ^{3} + 4 λ^{2} + 5 λ + 2$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

خطوة 1.7.1.2.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 2$

خطوة 1.7.1.2.3

عوّض بـ $- 1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $- 1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.3.1

عوّض بـ $- 1$ في متعدد الحدود.

${(- 1)}^{3} + 4 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + 2$

خطوة 1.7.1.2.3.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$- 1 + 4 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + 2$

خطوة 1.7.1.2.3.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- 1 + 4 \cdot 1 + 5 \cdot - 1 + 2$

خطوة 1.7.1.2.3.4

اضرب $4$ في $1$ .

$- 1 + 4 + 5 \cdot - 1 + 2$

خطوة 1.7.1.2.3.5

أضف $- 1$ و $4$ .

$3 + 5 \cdot - 1 + 2$

خطوة 1.7.1.2.3.6

اضرب $5$ في $- 1$ .

$3 - 5 + 2$

خطوة 1.7.1.2.3.7

اطرح $5$ من $3$ .

$- 2 + 2$

خطوة 1.7.1.2.3.8

أضف $- 2$ و $2$ .

$0$

خطوة 1.7.1.2.4

بما أن $- 1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $λ + 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{λ^{3} + 4 λ^{2} + 5 λ + 2}{λ + 1}$

خطوة 1.7.1.2.5

اقسِم $λ^{3} + 4 λ^{2} + 5 λ + 2$ على $λ + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$5 λ$

$2$

خطوة 1.7.1.2.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $λ^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$

خطوة 1.7.1.2.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

خطوة 1.7.1.2.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $λ^{3} + λ^{2}$

				$λ^{2}$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

خطوة 1.7.1.2.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$

خطوة 1.7.1.2.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$

خطوة 1.7.1.2.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $3 λ^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

				$λ^{2}$	+	$3 λ$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$

خطوة 1.7.1.2.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$λ^{2}$	+	$3 λ$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$
					+	$3 λ^{2}$	+	$3 λ$

خطوة 1.7.1.2.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $3 λ^{2} + 3 λ$

				$λ^{2}$	+	$3 λ$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$3 λ^{2}$	-	$3 λ$

خطوة 1.7.1.2.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$λ^{2}$	+	$3 λ$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$3 λ^{2}$	-	$3 λ$
							+	$2 λ$

خطوة 1.7.1.2.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$λ^{2}$	+	$3 λ$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$3 λ^{2}$	-	$3 λ$
							+	$2 λ$	+	$2$

خطوة 1.7.1.2.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 λ$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

				$λ^{2}$	+	$3 λ$	+	$2$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$3 λ^{2}$	-	$3 λ$
							+	$2 λ$	+	$2$

خطوة 1.7.1.2.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$λ^{2}$	+	$3 λ$	+	$2$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$3 λ^{2}$	-	$3 λ$
							+	$2 λ$	+	$2$
							+	$2 λ$	+	$2$

خطوة 1.7.1.2.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 λ + 2$

				$λ^{2}$	+	$3 λ$	+	$2$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$3 λ^{2}$	-	$3 λ$
							+	$2 λ$	+	$2$
							-	$2 λ$	-	$2$

خطوة 1.7.1.2.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$λ^{2}$	+	$3 λ$	+	$2$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$3 λ^{2}$	-	$3 λ$
							+	$2 λ$	+	$2$
							-	$2 λ$	-	$2$
										$0$

خطوة 1.7.1.2.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$λ^{2} + 3 λ + 2$

خطوة 1.7.1.2.6

اكتب $λ^{3} + 4 λ^{2} + 5 λ + 2$ في صورة مجموعة من العوامل.

$- ((λ + 1) (λ^{2} + 3 λ + 2)) = 0$

خطوة 1.7.1.3

حلّل $λ^{2} + 3 λ + 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.3.1

حلّل $λ^{2} + 3 λ + 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.3.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $2$ ومجموعهما $3$ .

$1, 2$

خطوة 1.7.1.3.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$- ((λ + 1) ((λ + 1) (λ + 2))) = 0$

خطوة 1.7.1.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- ((λ + 1) (λ + 1) (λ + 2)) = 0$

خطوة 1.7.1.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.4.1

جمّع العوامل المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.4.1.1

ارفع $λ + 1$ إلى القوة $1$ .

$- ((λ + 1) (λ + 1) (λ + 2)) = 0$

خطوة 1.7.1.4.1.2

ارفع $λ + 1$ إلى القوة $1$ .

$- ((λ + 1) (λ + 1) (λ + 2)) = 0$

خطوة 1.7.1.4.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- ({(λ + 1)}^{1 + 1} (λ + 2)) = 0$

خطوة 1.7.1.4.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$- ({(λ + 1)}^{2} (λ + 2)) = 0$

خطوة 1.7.1.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- {(λ + 1)}^{2} (λ + 2) = 0$

خطوة 1.7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

${(λ + 1)}^{2} = 0$

$λ + 2 = 0$

خطوة 1.7.3

عيّن قيمة العبارة ${(λ + 1)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

عيّن قيمة ${(λ + 1)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(λ + 1)}^{2} = 0$

خطوة 1.7.3.2

أوجِد قيمة $λ$ في ${(λ + 1)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.2.1

عيّن قيمة $λ + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ + 1 = 0$

خطوة 1.7.3.2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$λ = - 1$

خطوة 1.7.4

عيّن قيمة العبارة $λ + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

عيّن قيمة $λ + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ + 2 = 0$

خطوة 1.7.4.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$λ = - 2$

خطوة 1.7.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- {(λ + 1)}^{2} (λ + 2) = 0$ صحيحة.

$λ = - 1, - 2$

خطوة 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

خطوة 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} - 2 + 1 & - 1 + 0 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 + 1 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أضف $- 2$ و $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 + 0 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 + 1 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 + 1 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.3

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 \\ - 2 + 0 & - 3 + 1 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.4

أضف $- 2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 + 1 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.5

أضف $- 3$ و $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 2 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.6

أضف $- 2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 2 & - 2 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.7

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 2 & - 2 \\ 2 & 2 + 0 & 1 + 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.8

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 2 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 + 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.9

أضف $1$ و $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 2 & - 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{array}]$

خطوة 3.3

Find the null space when $λ = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - - 1 & - - 1 & - 0 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 2 + 2 \cdot 1 & 0 + 2 \cdot 0 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + y + z = 0$

$0 = 0$

خطوة 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - y - z \\ y \\ z \end{array}]$

خطوة 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

خطوة 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | y, z \in R}$

خطوة 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $2$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

اضرب $2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.2

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.3

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.4

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.5

اضرب $2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.6

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.7

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.8

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.9

اضرب $2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} - 2 + 2 & - 1 + 0 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 + 2 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

أضف $- 2$ و $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 + 0 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 + 2 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.2

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 + 2 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.3

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 \\ - 2 + 0 & - 3 + 2 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.4

أضف $- 2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 + 2 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.5

أضف $- 3$ و $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 1 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.6

أضف $- 2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 1 & - 2 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.7

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 1 & - 2 \\ 2 & 2 + 0 & 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.8

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 1 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 + 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.9

أضف $1$ و $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 1 & - 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{array}]$

خطوة 4.3

Find the null space when $λ = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ - 2 & - 1 & - 2 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 2 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 1 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 (\frac{1}{2}) & 3 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - - 1 & - 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 1 - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.6.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{2} z = 0$

$y + z = 0$

$0 = 0$

خطوة 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{2} \\ - z \\ z \end{array}]$

خطوة 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

خطوة 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

خطوة 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$